Cómo sé que lo aprendió

• Describe propiedades de los números y las operaciones que son comunes y diferentes en los distintos sistemas numéricos.
• Utiliza la propiedad de densidad para justificar la necesidad de otras notaciones para subconjuntos de los números reales.
• Construye representaciones de los conjuntos numéricos y establece relaciones acorde con sus propiedades.

Estas evidencias sirven tal cual como indicadores de logro del periodo.

Qué contenidos toca

Un ejemplo concreto

Un profesor presenta a sus estudiantes las siguientes imágenes: El profesor pregunta a sus estudiantes: ¿Cuáles aspectos en común tienen las tres representaciones? A la pregunta Federico respondió: 'Las tres representan lo mismo, están hablando de los números mayores que cinco'. Sara dijo 'Federico, en parte, tiene razón; pero los conjuntos no son los mismos'. Luego, el profesor agregó: '¡Muy bien Sara! Entonces si no son los mismos conjuntos, ¿cuáles serían sus diferencias?, ¿Podrías describirme esos conjuntos?' Finalmente, Carolina después de todo el trabajo dijo: 'Yo no he podido entender una cosa, ¿Por qué no es válido que yo diga que de cinco siga el 5.1 o el 5.01? Discute la veracidad de las afirmaciones de Sara y Federico. Ofrece una respuesta a la pregunta de Carolina.

Otras formas de trabajarlo

• Mapa comparativo de sistemas numéricos — El estudiante elabora un mapa conceptual que compara propiedades (cierre, conmutatividad, asociatividad, elemento neutro, inverso) de las cuatro operaciones en N, Z, Q y R, identificando similitudes y diferencias.
• Debate: ¿por qué necesitamos ampliar los números? — En grupos, los estudiantes investigan las necesidades históricas que motivaron la ampliación de N a Z, de Z a Q y de Q a R (raíces, ecuaciones sin solución) y presentan un argumento al grupo.

Cómo lo evalúo

Cuatro niveles listos para la rúbrica del periodo.

Con qué cierro

• ¿Qué propiedad garantiza que la suma de dos enteros siempre es un entero, pero la resta de dos naturales no siempre es un natural?
• ¿Por qué la propiedad de densidad es válida en Q pero no en Z? ¿Qué implicación tiene esto para la completitud de cada sistema?
• ¿Existen sistemas numéricos más allá de R que sean necesarios para resolver problemas matemáticos o científicos? Argumenta con ejemplos.

Cómo sé que lo aprendió

• Utiliza propiedades del producto de números Reales para resolver ecuaciones e inecuaciones.
• Interpreta las operaciones en diversos dominios numéricos para validar propiedades de ecuaciones e inecuaciones.

Estas evidencias sirven tal cual como indicadores de logro del periodo.

Qué contenidos toca

Un ejemplo concreto

' Ana una estudiante de undécimo decide resolver una inecuación como se muestra en la siguiente figura:

Otras formas de trabajarlo

• Resolución analítica de inecuaciones — El estudiante resuelve inecuaciones cuadráticas y racionales usando propiedades del producto de reales (signo de factores), representa la solución en la recta y verifica algebraicamente.
• Modelación de restricciones en problemas reales — En equipos, los estudiantes toman problemas de optimización básica (área máxima con perímetro fijo, presupuesto limitado) y los modelan con inecuaciones, encontrando y graficando la región factible.

Cómo lo evalúo

Cuatro niveles listos para la rúbrica del periodo.

Con qué cierro

• ¿Qué propiedad del producto de números reales utilizamos para resolver una inecuación cuadrática?
• Si la solución de x² − 4 > 0 es x < −2 ó x > 2, ¿qué significa esto gráficamente respecto a la parábola y la recta y = 0?
• Un ingeniero necesita que la resistencia de un material cumpla una inecuación cuadrática. ¿Por qué es importante considerar ambos intervalos de solución y no solo el positivo?

Cómo sé que lo aprendió

• Reconoce magnitudes definidas como razones entre otras magnitudes.
• Interpreta y expresa magnitudes como velocidad y aceleración, con las unidades respectivas y las relaciones entre ellas.
• Utiliza e interpreta la derivada para resolver problemas relacionados con la variación y la razón de cambio de funciones que involucran magnitudes como velocidad, aceleración, longitud, tiempo.
• Explica las respuestas y resultados en un problema usando las expresiones algebraicas y la pertinencia de las unidades utilizadas en los cálculos.

Estas evidencias sirven tal cual como indicadores de logro del periodo.

Qué contenidos toca

Un ejemplo concreto

Desde la terraza de un edificio con una altura (h o ) de 40 metros, se lanza un balón verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial (V o ) de 19m/s. La altura H que alcanza el balón en un tiempo t (en segundos) se puede calcular con la expresión. <!-- formula-not-decoded --> Discute el significado y las unidades del número -4,9. Explica la relación entre las unidades de las magnitudes involucradas en la expresión para calcular la altura, de manera que ésta quede expresada en metros. Explica por qué la velocidad se expresa en m/s y la aceleración en m/s 2 . Explica el sentido de la afirmación 'la expresión para H representa la gráfica de una parábola en el sistema de coordenadas H contra t, pero el movimiento de caída libre puede ser vertical cuando se suelta un objeto desde cierta altura'.

Otras formas de trabajarlo

• Cálculo de velocidad instantánea por derivación — El estudiante deriva funciones de posición s(t) para obtener la función velocidad v(t) = s'(t) y la función aceleración a(t) = v'(t), interpreta los resultados e identifica instantes de velocidad máxima o nula.
• Experimento de medición y precisión — En grupos, los estudiantes realizan mediciones directas e indirectas de distancias o tiempos con distintos instrumentos, calculan el error relativo y lo relacionan con la noción de derivada como tasa de cambio de la medición.

Cómo lo evalúo

Cuatro niveles listos para la rúbrica del periodo.

Con qué cierro

• ¿Cómo se obtiene la función velocidad a partir de la función posición usando derivadas?
• Si v(t) = 0 en t = 3, ¿qué ocurre con el objeto en ese instante y qué determina si va a avanzar o retroceder después?
• Los instrumentos de medición siempre tienen un error asociado. ¿Cómo la noción de derivada puede ayudarnos a estimar cómo ese error en la medición afecta el resultado calculado?

Cómo sé que lo aprendió

• Interpreta la rapidez como una razón de cambio entre dos cantidades.
• Justifica la precisión de una medición directa o indirecta de acuerdo con información suministrada en gráficas y tablas.
• Establece conclusiones pertinentes con respecto a la precisión de mediciones en contextos específicos (científicos, industriales).
• Determina las unidades e instrumentos adecuados para mejorar la precisión en las mediciones.
• Reconoce la diferencia entre la precisión y la exactitud en procesos de medición.

Estas evidencias sirven tal cual como indicadores de logro del periodo.

Qué contenidos toca

Un ejemplo concreto

En una fábrica se requiere cortar láminas de acero para fabricar piezas de diferentes formas (cilindros, conos truncados, pirámides truncadas, prismas, etc). Los cortes de dichas láminas se realizan con 'discos de corte' acoplados a una máquina pulidora. Para establecer la eficiencia de un mecánico industrial al hacer los cortes, se toman los datos que aparecen en la tabla (la longitud de la lámina cortada se mide con un flexómetro en mm; el tiempo se mide con un cronómetro en minutos, el procedimiento se realiza para 4 discos de la misma marca y el mismo diámetro). | Disco | Rendimiento productivo: Longitud de Lámina cortada (mm) | Tiempo (min) | |---------|-----------------------------------------------------------|----------------| | 1 | 2060 | 2.23 | | 2 | 2070 | 2.45 | | 3 | 2030 | 2.17 | | 4 | 2080 | 2.65 | Los datos fueron tomados en un contexto real de la industria. Determina la rapidez media con la que el mecánico corta las láminas. De acuerdo con el gráfico determina la precisión de la rapidez media del mecánico para cortar las láminas. Identifica y explica los factores que influyen en la precisión de la rapidez del mecánico para realizar los cortes, y propone técnicas para medir con mayor precisión la rapidez del mecánico al cortar las láminas.

Otras formas de trabajarlo

• Comparación de instrumentos de medición — El estudiante mide la misma magnitud con dos instrumentos de diferente precisión, calcula el error relativo de cada medición y justifica cuál instrumento es más adecuado para la situación dada.
• Diseño de protocolo de medición de rapidez — En grupos, los estudiantes diseñan un protocolo para medir la rapidez de un objeto (pelota, estudiante corriendo) con la mayor precisión posible, discuten fuentes de error y presentan resultados con incertidumbre estimada.

Cómo lo evalúo

Cuatro niveles listos para la rúbrica del periodo.

Con qué cierro

• ¿Cuál es la diferencia entre precisión y exactitud en una medición?
• Si medimos cinco veces una distancia y obtenemos valores muy dispersos, ¿qué dice eso sobre la confiabilidad de nuestra medición? ¿Cómo mejoraríamos el protocolo?
• ¿Por qué en experimentos científicos se reporta la incertidumbre de la medición junto con el valor? ¿Qué consecuencias podría tener no reportarla?

Cómo sé que lo aprendió

• Reconoce y utiliza distintos sistemas de coordenadas para modelar.
• Compara objetos geométricos, a partir de puntos de referencia diferentes.
• Explora el entorno y lo representa mediante diversos sistemas de coordenadas.

Estas evidencias sirven tal cual como indicadores de logro del periodo.

Qué contenidos toca

Un ejemplo concreto

La naturaleza tiene formas curvas que revelan regularidades geométricas muy hermosas. Algunas de ellas se perciben en las flores, las mariposas, los caracoles y otros animales o plantas como se aprecia en las siguientes imágenes. Con el apoyo de un software matemático o de papel milimetrado, realiza una representación aproximada de cada una de las formas que se presentan en los diferentes sistemas de coordenadas. Tomado y modificado de Pérez, N. J. C., &amp; Gutiérrez, R. W. S. (2012). Coordenadas polares: curvas maravillosas. En Blanco y Negro, 1(1), 1-27. http://ezproxybib.pucp. edu.pe/index.php/enblancoynegro/article/view/2191

Otras formas de trabajarlo

• Conversión entre sistemas de coordenadas — El estudiante convierte puntos y curvas entre coordenadas cartesianas y polares, verifica usando GeoGebra y reflexiona sobre cuándo un sistema es más ventajoso que otro.
• Exploración del entorno con diferentes sistemas — En grupos, los estudiantes modelan objetos del entorno (radar, antena, globo terráqueo, trayectoria de satélite) usando el sistema de coordenadas más apropiado, justifican su elección y presentan el modelo.

Cómo lo evalúo

Cuatro niveles listos para la rúbrica del periodo.

Con qué cierro

• ¿Cuáles son las fórmulas de conversión entre coordenadas cartesianas y polares?
• La ecuación de un círculo centrado en el origen es x² + y² = r² en cartesianas. ¿Cómo se simplifica en coordenadas polares y qué ventaja ofrece esa representación?
• ¿Por qué la navegación aérea y marítima usa coordenadas esféricas en lugar de cartesianas? ¿Qué errores podría generar ignorar la curvatura de la Tierra?

Cómo sé que lo aprendió

• Relaciona la noción derivada con características numéricas, geométricas y métricas.
• Utiliza la derivada para estudiar la covariación entre dos magnitudes y relaciona características de la derivada con características de la función.
• Halla la derivada de algunas funciones empleando métodos gráficos y numéricos.

Estas evidencias sirven tal cual como indicadores de logro del periodo.

Qué contenidos toca

Un ejemplo concreto

Cuando un atleta recorre cierta distancia se puede suponer que su velocidad no es constante, que a partir del momento en que sale empieza a aumentar su velocidad hasta un pico máximo y que disminuye progresivamente hasta el final. Si se admite que la ecuación F(t) = 0.00192t(250- t) Representa la distancia recorrida por el atleta en metros cuando lleva t segundos. Averigua la distancia que ha recorrido cuando alcanza la mayor velocidad. Usa la derivada para construir un argumento.

Otras formas de trabajarlo

• Derivación sistemática con reglas — El estudiante practica la derivación de funciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas aplicando las reglas de derivación, resolviendo un banco de ejercicios graduados con auto-corrección.
• Aplicación de la derivada a optimización — En parejas, los estudiantes identifican problemas de máximos y mínimos en contextos reales (mínimo costo, máxima área), plantean la función objetivo, la derivan, encuentran puntos críticos y verifican con la segunda derivada.

Cómo lo evalúo

Cuatro niveles listos para la rúbrica del periodo.

Con qué cierro

• ¿Qué condición debe cumplir f'(x) en un punto de máximo o mínimo local de la función?
• Si f'(x) = 0 en x = 2 y f''(2) > 0, ¿qué tipo de punto extremo es x = 2 y cómo lo verificarías gráficamente?
• ¿En qué decisiones del mundo real (ingeniería, economía, medicina) se aplica la optimización mediante derivadas? ¿Cuáles son las limitaciones de este enfoque matemático?

Cómo sé que lo aprendió

• Plantea modelos funcionales en los que identifica variables y rangos de variación de las variables.
• Relaciona el signo de la derivada con características numéricas, geométricas y métricas.
• Utiliza la derivada para estudiar la variación y relaciona características de la derivada con características de la función.
• Relaciona características algebraicas de las funciones, sus gráficas y procesos de aproximación sucesiva.

Estas evidencias sirven tal cual como indicadores de logro del periodo.

Qué contenidos toca

Un ejemplo concreto

Una araña ubicada en una esquina quiere cazar a una mosca que está ubicada en la esquina inferior izquierda de una caja cúbica cuyo lado mide un metro. La araña usará un camino recto señalado en línea punteada. Encuentra el camino más corto que ha de seguir la araña para llegar hasta la mosca.

Otras formas de trabajarlo

• Análisis de funciones con derivada — El estudiante determina intervalos de crecimiento y decrecimiento de funciones analizando el signo de la primera derivada, construye la tabla de variación y la conecta con la gráfica.
• Modelación de situación extraescolar — En grupos, los estudiantes eligen un fenómeno real (precio de acción, temperatura diaria, población de especie), plantean el modelo funcional, analizan la variación mediante la derivada y presentan conclusiones a la clase.

Cómo lo evalúo

Cuatro niveles listos para la rúbrica del periodo.

Con qué cierro

• ¿Qué indica el signo positivo de la derivada en un intervalo sobre el comportamiento de la función?
• Si f'(x) cambia de positivo a negativo en x = a, ¿qué tipo de punto extremo tiene la función en x = a y cómo se visualiza en la gráfica?
• ¿Puede una función crecer en todos los puntos donde su derivada es positiva aunque la derivada no sea continua? Construye un argumento y, si es posible, un contraejemplo.

Cómo sé que lo aprendió

• Utiliza la derivada para estudiar la variación y relaciona características de la derivada con características de la función.
• Relaciona características algebraicas de las funciones, sus gráficas y procesos de aproximación sucesiva.
• Calcula derivadas de funciones.

Estas evidencias sirven tal cual como indicadores de logro del periodo.

Qué contenidos toca

Un ejemplo concreto

dy dx Un avión vuela a una altitud H cuando comienza su descenso a una pista de aeropuerto que está a una distancia L del avión, con respecto al suelo, como se muestra en la figura. Asume que la trayectoria de aterrizaje se representa con la gráfica de una función polinomial cúbica y= ax 3 + bx 2 + cx + d , donde y(-L)=H, y(0)=0. Encuentra el valor de en x=0 y el valor de <!-- formula-not-decoded --> d dx y en x=-L? dy dx Utiliza los valores de en x=0 y en x=-L junto <!-- formula-not-decoded --> [1] Tomado de Cálculo de una variable. Finney, Demana, Waits y Kennedy. Prentice Hall Segunda Edición. 2000.

Otras formas de trabajarlo

• Banco de derivadas con retroalimentación inmediata — El estudiante resuelve un banco de 15 derivadas de complejidad creciente (polinomios, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, compuestas), verifica con CAS (GeoGebra o Symbolab) e identifica sus errores más frecuentes.
• Resolución colaborativa de problemas de aplicación — En tríos, los estudiantes resuelven problemas de optimización, rectas tangentes y análisis de funciones usando derivadas, se asignan roles (resolutor, verificador, presentador) y presentan la solución al grupo.

Cómo lo evalúo

Cuatro niveles listos para la rúbrica del periodo.

Con qué cierro

• Enuncia la regla de la cadena para derivar una función compuesta f(g(x)).
• Si h(x) = sin(x²), ¿cuál es h'(x) y qué indica el valor de h'(π) sobre la recta tangente a la gráfica en x = π?
• Las herramientas CAS (cálculo simbólico por computadora) pueden derivar cualquier función automáticamente. ¿Sigue siendo necesario que un estudiante aprenda a derivar manualmente? Argumenta.

Cómo sé que lo aprendió

• En situaciónes matemáticas plantea preguntas que indagan por la correlación o la asociación entre variables.
• Define el plan de recolección de la información, en el que se incluye: definición de población y muestra, método para recolectar la información (encuestas, observaciones o experimentos simples), variables a estudiar.
• Elabora gráficos de dispersión usando software adecuado como Excel y analiza las relaciones que se visibilizan en el gráfico.
• Expresa cualitativamente las relaciones entre las variables, para lo cual utiliza su conocimiento de los modelos lineales.
• Usa adecuadamente la desviación estándar, la media el coeficiente de variación y el de correlación para dar respuesta a la pregunta planteada.

Estas evidencias sirven tal cual como indicadores de logro del periodo.

Qué contenidos toca

Un ejemplo concreto

En un artículo de ciencias se afirma que: 'los antropólogos y los paleontólogos usan las longitudes de los huesos fósiles largos como el fémur y el húmero para calcular la estatura del individuo en estudio'. Diseña y lleva a cabo un estudio estadístico para comprobar si se puede demostrar que existe una relación entre la estatura y la longitud de los huesos largos entre los seres humanos.

Otras formas de trabajarlo

• Cálculo e interpretación de correlación — El estudiante calcula el coeficiente de correlación de Pearson para un conjunto de datos bivariado, interpreta su signo y magnitud e identifica si existe relación lineal entre las variables.
• Estudio de correlación con datos reales — En equipos, los estudiantes eligen dos variables de su entorno (horas de estudio vs. calificación, temperatura vs. ventas de helado), recolectan datos, calculan la correlación, grafican el diagrama de dispersión y presentan conclusiones.

Cómo lo evalúo

Cuatro niveles listos para la rúbrica del periodo.

Con qué cierro

• ¿Qué valores puede tomar el coeficiente de correlación de Pearson y qué indica cada extremo?
• Si el coeficiente de correlación entre el número de policías en una ciudad y la tasa de criminalidad es positivo, ¿significa que los policías causan crimen? Explica.
• ¿Cuáles son las limitaciones del coeficiente de Pearson para describir la relación entre dos variables? ¿Qué tipo de relaciones no detecta?

Cómo sé que lo aprendió

• Propone problemas a estudiar en variedad de situaciones aleatorias.
• Reconoce los diferentes eventos que se proponen en una situación o problema.
• Interpreta y asigna la probabilidad de cada evento.
• Usa la probabilidad condicional de cada evento para decidir si son o no independientes.

Estas evidencias sirven tal cual como indicadores de logro del periodo.

Qué contenidos toca

Un ejemplo concreto

Los resultados de la encuesta realizada con personas entre 14 a 17 años de edad, seleccionadas al azar, se presentan en la siguiente tabla: | Preferencia | Género | Género | TOTAL | |---------------|----------|----------|---------| | | Hombres | Mujeres | | | Deportes | 90 | 88 | 178 | | Música | 93 | 74 | 167 | | TOTAL | 183 | 162 | 345 | Plantea una pregunta sobre la relación entre las dos variables que se presentan en la tabla, indica si las dos variables (género y preferencia) son o no independientes y da respuesta a la pregunta planteada. Este es un documento en proceso de realimentación por medio de la construcción colectiva nacional. Para ello, participa en https://goo.gl-xZ9xmC donde encontrarás el Foro virtual que estará disponible desde noviembre de 2016 hasta la realización de los nuevos ajustes en 2017. X Calle 43 No 57-14 Centro Administrativo Nacional, CAN Bogotá D.C. - Colombia Calle 43 No 57-14 Conmutador: (+571) 2222800 Fax: (+571) 2222800 X Línea gratuita fuera de Bogotá 018000910122 Línea gratuita Bogotá (+571) 2220206 www.mineducacion.gov.co @Mineducación Ministerio de Educación Nacional X

Otras formas de trabajarlo

• Tablas de contingencia y probabilidad condicional — El estudiante construye tablas de contingencia a partir de datos reales, calcula probabilidades condicionales P(A|B) y verifica si los eventos son independientes comparando P(A|B) con P(A).
• Simulación de problemas de probabilidad condicional — En parejas, los estudiantes usan cartas, dados o simuladores digitales para estimar probabilidades condicionales empíricamente, las comparan con los valores teóricos y discuten la independencia de eventos.

Cómo lo evalúo

Cuatro niveles listos para la rúbrica del periodo.

Con qué cierro

• ¿Cuál es la definición de probabilidad condicional P(A|B) y cómo se calcula?
• Si P(A|B) = P(A), ¿qué puedes concluir sobre la relación entre los eventos A y B? ¿Qué implica esto para el cálculo de P(A∩B)?
• En diagnósticos médicos se usa la probabilidad condicional para interpretar resultados de pruebas. ¿Qué consecuencias éticas podría tener confundir P(enfermedad|prueba positiva) con P(prueba positiva|enfermedad)?